Міністерство освіти та науки України Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра КСА Курсова робота з дисципліни «КОМП’ЮТЕРНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ» АНАЛІЗ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ НЕЛІНІЙНИХ КОРЕГУЮЧИХ ЛАНОК СИСТЕМ КЕРУВАННЯ Варіант 3  Зміст І - Теоретичні відомості. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ІІ - Завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ІІІ - Виведення системи диференціальних рівнянь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 IV - Блок-схема алгоритму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 V - Код програми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 VI - Графічні результати перехідних процесів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 VII - Висновок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 VIII - Список використаної літератури. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 I. Теоретичні відомості Метод Рунге-Кутта Методи Рунге-Кутта — важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутта,які відкрили ці методи. Цей метод айбільше часто вживається при чисельному відшуканні розв’язку задачі Коші
(1), при умові
і дозволяє одержати наближення високої точності. Геометрично цей метод для задачі Коші також полягає в тому, що на малому відрізку [х; х+h] інтегральна крива у=у(х) рівняння (1) заміняється відрізком прямої, що проходить через точку (х; у(х)). Однак в основу методу покладений більше тонкий, чим у методах Ейлера, підхід до визначення напрямку цього відрізка прямій. Нехай відрізок
розділений на п рівних частин точками
,
і визначені наближені значення
розв’язку диференціального рівняння відповідно в точках
. Переходимо до відрізка
й відшукання
(рис. 1). / Рис. 1 Визначаємо
− напрямок дотичної до інтегральної кривої в точці
, і точку перетину прямих
і
, тобто точку
. Знаходимо напрямок дотичної в точці
:
і із точки
проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом
:
до перетину із прямою
. Одержуємо точку
. Знаходимо напрямок дотичної в точці
:
і із точки
проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом
:
до перетину із прямою
. Одержуємо точку
. Далі визначаємо напрямок дотичної в точці
:
. Остаточний напрямок відрізка ламаної, що представляє наближений розв’язок задачі, буде рівним
і проводимо із точки
пряму
, до перетинання із прямої
в точці
, де
вважаємо наближеним значенням розв’язку в точці
(див. рис. 1). Алгоритм методу Рунге-Кутта для диференціального рівняння першого порядку: Передбачаються заданими рівняння
, початкова умова
і відрізок
. 1. Задаємо число п точок поділу відрізка
й обчислюємо крок
. Вважаємо відомими
й переходимо до дії 2. 2. Нехай знайдені
. Визначаємо
,
,
,
,
,
,
. Якщо
(k+1=n), то процес закінчений. Числа
представляють наближені значення шуканого розв’язку в точках
. Якщо ж
(k+1<n), то повторюємо дію 2, вважаючи вихідним
. Всі розрахунки по алгоритму зручно оформляти у вигляді таблиці. Обчислення по методу Рунге-Кутта значно ускладнені в порівнянні з методом Ейлера, але за рахунок цього він дає меншу похибку при заміні точного розв’язку
наближеним
. З теорії наближених методів відомо, що при кроці інтегрування h має місце оцінка
, так що похибка одного кроку обчислень (визначення
по
) має порядок
(або
). Сумарна похибка за п кроків, тобто похибка приблизного наближеного розв’язку
в ...